(x³ − 3x² + 5x − 3) ÷ (x − 1) の商はいくつか。

Step-by-step solution

1. 1

   まず割り切れるかどうかを確かめる。 因数定理により、$x - 1$ がこの 3 次式を割り切るのは、$x = 1$ を代入してゼロになるとき、そのときに限る：

   $1 - 3 + 5 - 3 = 0$

   実際ゼロになるので、余りは $0$、商はきれいな 2 次式になるはずである。これを先に知っておけば、ゼロでない余りが出たときにそれは計算の取りこぼしだと分かる。

2. 2

   1 巡目：割る、掛ける、引く。 最高次の項どうしを割る：

   $\frac{x^3}{x} = x^2, \qquad x^2(x-1) = x^3 - x^2$

   $(x^3 - 3x^2 + 5x - 3) - (x^3 - x^2) = -2x^2 + 5x - 3$

3. 3

   2 巡目。 途中までの被除数はいま $-2x^2$ を先頭にしている：

   $\frac{-2x^2}{x} = -2x, \qquad -2x(x-1) = -2x^2 + 2x$

   $(-2x^2 + 5x - 3) - (-2x^2 + 2x) = 3x - 3$

   符号に注意したい：$+2x$ を引くので $5x - 2x = 3x$ が残る。

4. 4

   3 巡目で割り算が閉じる。 $3x$ からは：

   $\frac{3x}{x} = 3, \qquad 3(x-1) = 3x - 3$

   $(3x - 3) - (3x - 3) = 0$

   余りは $0$ であり、因数定理が予告したとおりである。よって商は $x^2 - 2x + 3$ である。

5. 5

   掛け戻して確認する。 割り算が生んだ因数分解を展開する：

   $(x-1)(x^2 - 2x + 3) = x^3 - 2x^2 + 3x - x^2 + 2x - 3 = x^3 - 3x^2 + 5x - 3$

   これはもとの 3 次式と一致する。おまけに $x^2 - 2x + 3$ の判別式は $4 - 12 = -8 < 0$ なので、$x = 1$ がこの 3 次式の唯一の実数解である。