組立除法で 2t^2 - t - 15 を t - 1 で割れ。商と余りを答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   除数が正しい形かを確認する。 組立除法は除数が最高次係数 1 の 1 次式であることを要求する。$t-1$ はその両方を満たすので $c=1$ である。割られる式の最高次係数は何でもよい——$2t^2$ の $2$ はまったく差し支えなく、そのまま商の最高次係数になる。係数の並びは

   $2,\;-1,\;-15$

   である。

2. 2

   余りを予想する。 剰余の定理により、最後の列は $t=1$ における多項式の値にならなければならない。

   $f(1)=2(1)^2-1-15=2-16=-14$

   これを先にやっておけば、表は当てずっぽうではなく確認の作業になる。

3. 3

   $c=1$ として掛けて足す操作を回す。

   $\begin{array}{r|rrr}1 & 2 & -1 & -15\\ & & 2 & 1\\ \hline & 2 & 1 & -14\end{array}$

   $2$ をそのまま下ろす。$2\cdot 1=2$ で $-1+2=1$、$1\cdot 1=1$ で $-15+1=-14$ となる。

4. 4

   1 次の商を読み取る。 2 次式を 1 次式で割れば商は 1 次になるので、下の行の最初の 2 つが商、最後が余りである。

   $\text{商}=2t+1,\qquad \text{余り}=-14$

5. 5

   検算して意味を読む。 分数を使わずに書けば

   $2t^2-t-15=(t-1)(2t+1)-14$

   であり、展開すると $(t-1)(2t+1)=2t^2+t-2t-1=2t^2-t-1$ なので、$14$ を引けば $2t^2-t-15\;\checkmark$ になる。余りが 0 でないので $t=1$ は解ではない。実際の因数分解は $2t^2-t-15=(2t+5)(t-3)$ で、解は $t=3$ と $t=-\tfrac52$ である。