x^3 - 7x + 6 を -2x + 1 で割れ。除数の最高次係数が 1 でないことに注意して、組立除法を使うこと。

Step-by-step solution

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   そのままでは組立除法が使えない理由を押さえる。 この方法は $x-c$ の形、すなわち最高次の係数がちょうど $1$ の除数のために作られている。ここでの除数は $-2x+1$ なので、まず最高次の係数をくくり出す。

   $-2x+1=-2\left(x-\tfrac{1}{2}\right)$

   この書き換えがすべての鍵である。最高次係数 1 の部分 $x-\tfrac12$ で表を使って割り、そのあとで因子 $-2$ の分を処理すればよい。

2. 2

   $c=\tfrac12$ として $x-\tfrac12$ で割る。 欠けている $x^2$ の項を 0 で埋めると、係数は $1,\;0,\;-7,\;6$ になる。

   $\begin{array}{r|rrrr}\tfrac12 & 1 & 0 & -7 & 6\\[2pt] & & \tfrac12 & \tfrac14 & -\tfrac{27}{8}\\ \hline & 1 & \tfrac12 & -\tfrac{27}{4} & \tfrac{21}{8}\end{array}$

   したがって $x^3-7x+6=\left(x-\tfrac12\right)\left(x^2+\tfrac12 x-\tfrac{27}{4}\right)+\tfrac{21}{8}$ であり、余りは $f\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac18-\tfrac72+6=\tfrac{21}{8}$ と一致する。

3. 3

   商だけを——余りではなく——$-2$ で割る。 $x^3-7x+6=-2\left(x-\tfrac12\right)\cdot Q(x)+R$ なので、$-2x+1$ に対する商は先ほどの商を $-2$ で割ったものである。

   $Q(x)=\frac{x^2+\tfrac12 x-\tfrac{27}{4}}{-2}=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x+\frac{27}{8}$

   余りには手を付けない。この非対称さこそ人が間違えるところである。除数を定数倍すると商は逆数倍になるが、余りは変わらない。余りは点 $x=\tfrac12$ に結びついた定数だからである。

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   割り算の結果を述べ、余りが正当であることを確認する。 まとめると

   $x^3-7x+6=(-2x+1)\left(-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x+\frac{27}{8}\right)+\frac{21}{8}$

   となる。余り $\tfrac{21}{8}$ は次数 $0$ で除数の次数より低いので、この割り算は完了している。

5. 5

   展開して検算する。 右辺を項ごとに掛け合わせると

   $(-2x)\left(-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}\right)=x^3+\tfrac12 x^2-\tfrac{27}{4}x$

   $(1)\left(-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}\right)=-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}$

   となる。足し合わせると $x^2$ の項が消え、$-\tfrac{27}{4}x-\tfrac14 x=-7x$ となって $x^3-7x+\tfrac{27}{8}$ が残り、余り $\tfrac{21}{8}$ を加えると定数項は $\tfrac{48}{8}=6$ になる。したがってこの等式は $x^3-7x+6\;\checkmark$ を再現する。