不等式 |x + 1| + |x - 1| ≤ 3 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   左辺を距離の合計として読む。 $|x+1|=|x-(-1)|$ なので、この式は $x$ から $-1$ までの距離と $x$ から $1$ までの距離の和である。$-1$ と $1$ の間の点では合計がちょうど $2$（2 つの基準点の間隔）になり、外に出るとはみ出した分の 2 倍が加わる。つまりこの不等式は「移動の総量が $3$ 以内に収まる点はどこか」を問うている。

2. 2

   折れ目で場合分けする。 絶対値の中の 2 つの式は $x=-1$ と $x=1$ で符号が変わるので、$x\le -1$、$-1\le x\le 1$、$x\ge 1$ の 3 つの範囲で扱う。

3. 3

   場合 $x\le -1$。 $x+1\le 0$ かつ $x-1<0$ なので、両方の絶対値の符号が反転する。

   $-(x+1)-(x-1)=-2x\le 3\;\Longrightarrow\;x\ge -\frac32$

   （$-2$ で割るので不等号が反転する。）$x\le -1$ との共通部分をとると $-\frac32\le x\le -1$ となる。

4. 4

   場合 $-1\le x\le 1$。 ここでは $x+1\ge 0$ だが $x-1\le 0$ なので

   $(x+1)-(x-1)=2\le 3$

   となる。$x$ が完全に消える。この範囲のすべての $x$ で命題が成り立つので、区間 $[-1,1]$ はまるごと解に属する。これがステップ 1 で予告した「平らな底」である。

5. 5

   場合 $x\ge 1$。 2 つの式はどちらも非負である。

   $(x+1)+(x-1)=2x\le 3\;\Longrightarrow\;x\le \frac32$

   $x\ge 1$ との共通部分をとると $1\le x\le \frac32$ となる。

6. 6

   3 つを合わせ、境界を検証する。

   $\left[-\tfrac32,-1\right]\cup[-1,1]\cup\left[1,\tfrac32\right]=\left[-\tfrac32,\tfrac32\right]$

   検算すると、$x=\frac32$ では和が $2.5+0.5=3$ なので端点は含まれる。$x=1.6$ では $2.6+0.6=3.2>3$ で、正しく除外される。同じことを $|x|\le \frac32$ と書いてもよい。