|x − 2| + |x + 3| + |x − 1| + |x + 1| ≥ a がすべての実数 x で成り立つのは、a がどのような値のときか。

Step-by-step solution

1. 1

   問いを最小値の問題に帰着させる。 この不等式がすべての $x$ で成り立つのは、$a$ が左辺のとりうる最小値以下であるとき、ちょうどそのときである。そこで

   $f(x)=|x-2|+|x+3|+|x-1|+|x+1|$

   と定義し、$\min f$ を求める。あとは事務作業にすぎない。

2. 2

   中央値の近道で答えを予測する。 絶対偏差の和 $\sum|x-c_{i}|$ は、点 $c_{i}$ の中央値のどれかで最小になる。ここでの 4 点は $-3,\,-1,\,1,\,2$ であり、個数が偶数なので中央の区間 $[-1,1]$ に属する $x$ はすべて中央値である。したがって最小値は $[-1,1]$ 全体で達成される——$[-3,1]$ ではない。これは言いたくなるが誤った主張である。

3. 3

   区間に分けて確認する。 折れ点 $-3,-1,1,2$ は直線を 5 つに切り分け、そのそれぞれの上では各絶対値が定まった符号で外れる：

   $x\le-3:\ f=-4x-1;\qquad -3\le x\le-1:\ f=5-2x;$

   $-1\le x\le 1:\ f=7;\qquad 1\le x\le 2:\ f=2x+5;\qquad x\ge 2:\ f=4x+1.$

   $[-3,-1]$ 上でこの関数は減少する直線 $5-2x$ であり、$f(-3)=5+6=11$ から $f(-1)=5+2=7$ まで下がっていく。そこで定数なのではない。

4. 4

   最小値を読み取る。 外側の 2 片は中心から離れるにつれて増加し、中央に隣接する 2 片は $[-1,1]$ に向かって下り、$[-1,1]$ 上では関数は定数

   $f(x)=(2-x)+(x+3)+(1-x)+(x+1)=7.$

   である。したがって $\min f=7$ であり、これはちょうど $[-1,1]$ の上で達成される。抜き取り検査：$f(0)=2+3+1+1=7$ ✓、$f(-2)=4+1+3+1=9$ ✓（最小値より真に大きい）、$f(-3)=5+0+4+2=11$ ✓。

5. 5

   $a$ についての条件を述べる。 不等式 $f(x)\ge a$ がすべての実数 $x$ で成り立つのは、

   $a\le 7.$

   のとき、かつそのときに限る。$a>7$ なら中央の開いた帯の全体で不等式は成り立たず、$7<a\le 9$ のときの解集合は、隣接する 2 つの 1 次の片を逆に解いて $\left(-\infty,\tfrac{5-a}{2}\right]\cup\left[\tfrac{a-5}{2},\infty\right)$ となる。