方程式 x^4 - 6x^2 + 8 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   姿を変えた二次式であることを見抜く。 現れるのは $x$ の偶数乗だけで、しかも $x^4=(x^2)^2$ である。そこで

   $u=x^2$

   と置けば、この四次式はふつうの二次式に変わる。この形の式は複二次式と呼ばれる。

2. 2

   $u$ の二次方程式を解く。 積が $8$、和が $-6$ になる 2 数、すなわち $-2$ と $-4$ を使う。

   $u^2-6u+8=(u-2)(u-4)=0\quad\Longrightarrow\quad u=2\ \text{または}\ u=4$

3. 3

   元に戻して平方根をとる。 $u$ の正の値 1 つにつき、$x$ の値が2 つ生じる。

   $x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt2,\qquad x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

   $u$ の値がどちらも正であることが、4 つの解がすべて実数になる理由である。もし $u$ が負なら、その分は虚数解になっていた。

4. 4

   無理数の解と整数の解を 1 つずつ検算する。 $x=\sqrt2$ では $x^4=4$、$6x^2=12$ なので $4-12+8=0$ $\checkmark$。$x=2$ では $16-24+8=0$ $\checkmark$。

5. 5

   解の個数を確認する。 4 次の多項式は高々 4 個の解しか持たず、因数分解

   $x^4-6x^2+8=(x^2-2)(x^2-4)=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x-2)(x+2)$

   がその 4 個をすべて示している。したがって取りこぼしはない。