0.2 × 0.2 × x^6 + (1 + 0.2 × 0.2) x^4 + x^2 - 4 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   小数の係数を整理する。 $0.2\times 0.2=0.04$、$1+0.04=1.04$ なので、方程式は

   $0.04x^{6}+1.04x^{4}+x^{2}-4=0$

   となる。

2. 2

   25 倍して小数を払う。 $25\times 0.04=1$、$25\times 1.04=26$ なので

   $x^{6}+26x^{4}+25x^{2}-100=0$

   となる。整数で扱えば、このあとの数値的な求根で丸め誤差が蓄積する心配がなくなる。

3. 3

   偶数乗しか現れないので $y=x^{2}$ とおく。 $x^{6}=y^{3}$、$x^{4}=y^{2}$ なので

   $y^{3}+26y^{2}+25y-100=0$

   となる。次数は 6 から 3 へ下がる。そして決定的に重要なのは $y=x^{2}\ge 0$ であること、すなわち 非負の $y$ からしか実数の $x$ は得られない という点である。

4. 4

   有理根を確かめ、次に数値解法へ移る。 候補 $\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm10,\pm20,\pm25,\pm50,\pm100$ はいずれも当てはまらない。たとえば $y=1$ では $-48$、$y=2$ では $+62$ になる。したがって $1$ と $2$ のあいだの符号の変化が唯一の正の解の位置を示しており、それは数値的に求めるしかない。

5. 5

   正の解を精密に求める。 $f(y)=y^{3}+26y^{2}+25y-100$ に $y=1.5$ から出発してニュートン法を適用すると

   $y=1.5056857750$

   に収束する。ここでは検算が効いてくる。$f(1.5056858)=0.0000027$ である一方、近そうに見える誤った値 $y=1.417075$ では $f=-9.5$ となり、0 からほど遠い。残り 2 つの解 $y\approx-2.6747$ と $y\approx-24.8310$ は負なので、実数の $x$ を与えない。

6. 6

   $x$ に戻す。 $x^{2}=1.5056857750$ より

   $x=\pm\sqrt{1.5056857750}=\pm 1.2270638838$

   となる。代入すると $0.04(1.22706)^{6}+1.04(1.22706)^{4}+(1.22706)^{2}-4=-0.000042$ ✓。この 6 次方程式の実数解はちょうど 2 つで、残りの 4 つは複素数である。