x(-5x + 250) = 2625 を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   形を見抜く。 $x(-5x+250)$ のような積は、売上高や面積の典型的なモデルである。$x$ 個を、$x$ が増えるほど下がる単価で売る、という構造になっている。これを $2625$ とおくのは、その目標値を生む量はどれかという問いであり、最大値をはさんで両側に 1 つずつ、2 つの答えが予想される。

2. 2

   展開してすべてを片側に寄せる。

   $-5x^2+250x=2625\qquad\Longrightarrow\qquad -5x^2+250x-2625=0$

3. 3

   −5 で割って最高次の係数を 1 にする。 扱いにくい数を因数分解しやすい数に変えるのがこの手順である。方程式（不等式ではない）を負の数で割っても差し支えはない。

   $x^2-50x+525=0$

   $250/(-5)=-50$、$-2625/(-5)=+525$ となり、どちらも符号が変わる点に注意する。

4. 4

   最高次の係数が 1 の二次式を因数分解する。 積が $+525$、和が $-50$ になる 2 数を探す。どちらも負である。$525=3\cdot5^2\cdot7$ なので候補の組は $(1,525),(3,175),(5,105),(7,75),(15,35),(21,25)$ であり、$15+35=50$ が当てはまる。

   $x^2-50x+525=(x-15)(x-35)$

5. 5

   積が 0 になる条件を使う。

   $x-15=0\Rightarrow x=15,\qquad x-35=0\Rightarrow x=35$

6. 6

   両方を元の方程式で検算する。 $x=15$ では $15(-75+250)=15\times175=2625$ ✓。$x=35$ では $35(-175+250)=35\times75=2625$ ✓。構造上の点検としては、2 解の和が $50=-b/a$、積が $525=c/a$ ✓、そして 2 解の中点 $25$ で放物線が頂点をとり、その値は $25\times125=3125$ となる——解が 2 つ存在するために必要なとおり、$2625$ を余裕をもって上回っている。