74x − 2x² = 690 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   標準形に整理する。 二次方程式の道具がそのまま使えるよう、すべてを片側へ寄せる：

   $-2x^2+74x-690=0$

2. 2

   係数を整える。 $-1$ を掛けて最高次の係数を正にし、続いて $2$ で割る：

   $2x^2-74x+690=0\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-37x+345=0$

   どちらの操作も方程式に対して正当であり、数を可能なかぎり小さくできる。

3. 3

   整数の因数を探すが、見つからない。 因数分解するには、積が $345$ で和が $37$ になる 2 数が必要である。$345=3\times5\times23$ なので因数の組は $(1,345),(3,115),(5,69),(15,23)$ であり、和はそれぞれ $346,118,74,38$ ——どれも $37$ にはならない。（$15+23=38$ が惜しいほど近いことに注目したい。この問題はぎりぎりのところで解けないのである。）

4. 4

   判別式を計算する。

   $\Delta=(-37)^2-4(1)(345)=1369-1380=-11$

   負なので、実数解は存在しない。放物線 $x^2-37x+345$ は完全に軸の上側にある。

5. 5

   惜しい差の正体を説明する。 左辺 $74x-2x^2$ は上に凸の放物線で、頂点は $x=\tfrac{74}{4}=18.5$ にあり、そこでの値は $74(18.5)-2(18.5)^2=1369-684.5=684.5$ である。とりうる最大値が $684.5$ なのに目標は $690$ なので、この方程式は届く範囲より $5.5$ だけ大きいものを要求している。その不足分こそ判別式 $-11$ が記録しているものである（先ほどの割り算のぶんだけ、両者は倍率 $2$ で食い違う）。

6. 6

   複素数解を示して検証する。 $\mathbb{C}$ 上では：

   $x=\frac{37\pm i\sqrt{11}}{2}$

   どちらを $74x-2x^2$ に代入しても $10^{-9}$ の精度で $690$ が戻る ✓。さらに $-1000$ から $1000$ までの $200{,}001$ 個の実数値 $x$ を走査しても、実数解は 1 つも見つからない ✓。