x(75 - 2x - 1) = 690 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まずかっこの中を整理する。 展開する前に定数どうしをまとめる——きれいな二次式になるか、うっかりミスを招くかの分かれ目である。

   $75-2x-1=74-2x\qquad\Longrightarrow\qquad x(74-2x)=690$

   この形は周の長さと面積を扱う問題に典型的である。一辺が $x$、もう一辺が $74-2x$ で、その積を $690$ にしたい、という設定にあたる。

2. 2

   展開してすべてを片側に寄せる。

   $74x-2x^2=690\qquad\Longrightarrow\qquad -2x^2+74x-690=0$

3. 3

   方程式を整える。 $-1$ を掛けてから $2$ で割る。

   $2x^2-74x+690=0\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-37x+345=0$

   どちらの操作も方程式に対しては正当である（不等式なら $-1$ を掛けた時点で不等号が反転するのとは事情が違う）。

4. 4

   判別式を計算する。 $a=1$、$b=-37$、$c=345$ とすると

   $\Delta=(-37)^2-4(1)(345)=1369-1380=-11$

   となる。判別式が負なので実数解は存在しない——放物線 $x^2-37x+345$ はゼロに届かないのである。

5. 5

   それが具体的に何を意味するかを説明する。 $x(74-2x)$ の最大値は中点 $x=\tfrac{74}{4}=18.5$ でとり、そのときの積は $18.5\times37=684.5$ である。$684.5<690$ なので目標値はそもそも手の届かないところにある。実数の $x$ で積を $690$ にすることはできない。$5.5$ という不足分こそ、負の判別式が符号化しているものである。

6. 6

   複素数の解を示す。 $\mathbb{C}$ の範囲では

   $x=\frac{37\pm\sqrt{-11}}{2}=\frac{37\pm i\sqrt{11}}{2}$

   となる。

7. 7

   検証する。 $-100$ から $100$ までの実数 $x$ を $20{,}001$ 点走査しても $x(74-2x)=690$ を満たすものは 1 つも見つからない ✓。複素数の 2 解を $x(74-2x)$ に代入すると $10^{-9}$ の精度で $690$ が返る ✓。また 2 解の和は $37=-b/a$、積は $345=c/a$ である ✓。