不等式 x² + x - 1 ≥ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   解の公式で境界の値を求める。 $a=1$、$b=1$、$c=-1$ とすると

   $\Delta=1^2-4(1)(-1)=1+4=5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$

   となる。積が $-1$、和が $1$ になる整数の組は存在しないので、因数分解はそもそも成り立ち得なかった。

2. 2

   この数の正体に気づく。 $\frac{-1+\sqrt5}{2}=0.6180340$、$\frac{-1-\sqrt5}{2}=-1.6180340$ ——これらは黄金比とその共役の符号を変えたものである。黄金比は $\varphi^2=\varphi+1$ を満たし、φ = −x を代入するとこの関係式はちょうど $x^2+x-1=0$ になる。2 数の積は $-1$、和は $-1$ で、$c/a$ と $-b/a$ に一致する。

3. 3

   凸の向きを使う。 最高次の係数が正なので放物線は下に凸であり、式の値が $\ge 0$ となるのは 2 解の間の区間の外側である。

   $x\le\frac{-1-\sqrt5}{2}\qquad\text{または}\qquad x\ge\frac{-1+\sqrt5}{2}$

4. 4

   端点を含める。 不等号は等号を含む（$\ge$）形であり、各解のところで式の値はちょうど $0$ になるので、どちらの境界の値も解集合に属する。区間は開いた形ではなく閉じた形になる。

5. 5

   代入して検証する。 $x=-2$ では $4-2-1=1\ge 0$ ✓。$x=0$ では $-1$ となり不成立で、真ん中が正しく除外される ✓。$x=1$ では $1+1-1=1\ge 0$ ✓。したがって解は

   $\left(-\infty,\tfrac{-1-\sqrt5}{2}\right]\cup\left[\tfrac{-1+\sqrt5}{2},\infty\right)$

   である。