不等式 x² - 7x - 6 > 0 を解け。

Step-by-step solution

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   因数分解を試し、早めに見切りをつける。 積が $-6$、和が $-7$ になる 2 つの整数が必要だが、候補の $(1,-6)$ は和が $-5$、$(-1,6)$ は $5$、$(2,-3)$ は $-1$、$(-2,3)$ は $1$ である。どれも当てはまらないので解は有理数ではなく、解の公式が必要になる。

2. 2

   判別式を計算する。

   $\Delta=(-7)^2-4(1)(-6)=49+24=73$

   $73$ は素数なので平方因数を持たず、$\sqrt{73}$ は簡単にできない。したがって境界は無理数になる。$\Delta>0$ より相異なる 2 つの実数解を持つことも保証される。

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   解を求める。

   $x=\frac{7\pm\sqrt{73}}{2}$

   $\sqrt{73}\approx 8.5440$ なので $x_1\approx -0.7720$、$x_2\approx 7.7720$ となる。

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   凸の向きを使う。 $x^2$ の係数は $+1>0$ なので放物線は下に凸であり、式の値が正になるのは 2 解の外側、負になるのはその間である。

   $x<\frac{7-\sqrt{73}}{2}\qquad\text{または}\qquad x>\frac{7+\sqrt{73}}{2}$

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   代入して確かめ、端点を決める。 $x=-1$ では $1+7-6=2>0$ ✓（左側の領域）。$x=0$ では $-6$ となり不成立 ✓（真ん中の領域は除外）。$x=8$ では $64-56-6=2>0$ ✓（右側の領域）。各解のところで式の値はちょうど $0$ になり、不等号は等号を含まないので、どちらの境界も解に入らない。