不等式 −4x² + 260x − 200 ≤ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   負の最高次係数で割り、不等号を反転させる。 全項を $-4$ で割ると 2 次の係数が 1 の形になるが、$-4<0$ なので不等号は反転する：

   $-4x^2+260x-200\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-65x+50\ge 0$

   ここが最も誤りやすい箇所である。元の上に凸の形のまま「軸より下」で考えるのも、同じく正当な代替手段である。

2. 2

   最高次の係数が 1 の 2 次方程式の解を求める。 $a=1$、$b=-65$、$c=50$ なので、

   $\Delta=(-65)^2-4(50)=4225-200=4025$

   であり、$4025=25\cdot 161$ だから $\sqrt{4025}=5\sqrt{161}$ となる（$161=7\cdot 23$ は平方因数を持たないので、これで完全に簡約されている）。

3. 3

   解を厳密に書く。

   $x=\frac{65\pm 5\sqrt{161}}{2}$

   $5\sqrt{161}\approx 63.4429$ なので、2 解はおよそ $0.7786$ と $64.2214$ である。

4. 4

   凸の向きから領域を決める。 放物線 $x^2-65x+50$ は下に凸なので、2 解の外側で $\ge 0$ となり、その間では狭義に負である：

   $x\le \frac{65-5\sqrt{161}}{2}\qquad\text{または}\qquad x\ge \frac{65+5\sqrt{161}}{2}$

5. 5

   端点を含め、答えを検証する。 不等号に等号が付いているので 2 解はどちらも解に含まれる（そこで元の式は $0$ に等しい）。検証すると、$x=0.5$ では元の式は $-71\le 0$ ✓、$x=1$ では $+56$ となって成り立たず、間の区間が正しく除外されている。$x=65$ では $-200\le 0$ ✓。