不等式 2x² + x - 1 > 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 次式を因数分解する。 積が $2\cdot(-1)=-2$、和が $+1$ になる 2 数、すなわち $+2$ と $-1$ を使って中央の項を分ける。

   $2x^2+2x-x-1=2x(x+1)-1(x+1)=(2x-1)(x+1)$

   先に因数分解しておく価値は大きい。平方根を使わずに解が現れるからである。

2. 2

   解を読み取る。 $(2x-1)(x+1)=0$ より $x=\frac12$ と $x=-1$ が得られる。これらは数直線を $(-\infty,-1)$、$\left(-1,\frac12\right)$、$\left(\frac12,\infty\right)$ の 3 つに分ける。

3. 3

   グラフの形から答えを予想する。 最高次の係数は $2>0$ なので放物線は下に凸である。すなわち 2 つの解の 外側で正、その間では負になる。これだけで答えの形は見えている。

4. 4

   各区間で 1 点ずつ試して確かめる。

   $x=-2:\ (-5)(-1)=5>0\qquad x=0:\ (-1)(1)=-1<0\qquad x=1:\ (1)(2)=2>0$

   予想どおり、外側の 2 区間は条件を満たし、真ん中は満たさない。構造的にいえば、2 つの因数の符号が揃うときに積は正になる。

5. 5

   端点を処理する。 $x=-1$ と $x=\frac12$ では式の値がちょうど $0$ になり、$0>0$ は偽である。したがって両端とも含まれない。

   $x\in(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac12,\infty\right)$