2x + x^2 - 1 を標準形に直し、2x + x^2 - 1 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   標準形に並べ替える。 標準形とは次数の高い順に項を並べた形で、二次方程式のどの解法もこの形を前提にしている。

   $2x+x^{2}-1=x^{2}+2x-1$

   よって $a=1$、$b=2$、$c=-1$ である。並べ替えても値は何も変わらない——加法は交換可能だからである——が、$2$ を最高次の係数と読み違える事故を防げる。

2. 2

   整数の因数分解を試し、退ける。 積が $-1$、和が $2$ になる 2 つの整数が必要になるが、$-1$ の整数の組は $(1,-1)$ しかなく、その和は $0$ である。したがって整数の因数分解は存在せず、解は無理数になる。

3. 3

   平方完成する——$b$ が偶数のときは公式より速い。 $b=2$ の半分は $1$ なので

   $x^{2}+2x-1=(x+1)^{2}-1-1=(x+1)^{2}-2$

   となる。これを 0 とおけば $(x+1)^{2}=2$ となり、見ただけで解ける形になる。

4. 4

   符号を両方つけて平方根をとる。

   $x+1=\pm\sqrt{2}\qquad\Longrightarrow\qquad x=-1\pm\sqrt{2}$

5. 5

   解の公式でも照合する。

   $x=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\ \checkmark$

   （$\sqrt{8}=2\sqrt2$ を使えば $2$ が約分される。）解と係数の関係も裏づける。2 解の和は $-2=-b/a$ ✓、積は $1-2=-1=c/a$ ✓。数値では $x\approx0.4142$ と $x\approx-2.4142$ で、残差は $10^{-12}$ を下回る ✓。