方程式 x^2 - 6x - 5 = 0 を解け。

Step-by-step solution

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   係数を確認し、因数分解できるか試す。 ここでは $a=1$、$b=-6$、$c=-5$ である。整数の範囲で因数分解するには、積が $-5$、和が $-6$ になる 2 数が必要になる。$-5$ の整数の組は $(1,-5)$ と $(5,-1)$ だけで、和はそれぞれ $-4$ と $4$ ——どちらも $-6$ ではない。したがって解は整数ではなく、公式が必要である。

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   判別式を計算する。

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4(1)(-5)=36+20=56$

   $c$ が負なので $-4ac$ の項は $+20$ になる——ここでの符号ミスが誤答の最大の原因である。$\Delta=56>0$ だが平方数ではないので、2 つの無理数解が現れると分かる。

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   解の公式に代入する。

   $x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{56}}{2(1)}=\frac{6\pm\sqrt{56}}{2}$

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   根号を簡単にしてから約分する。 最大の平方因数を取り出すと $56=4\cdot14$ なので $\sqrt{56}=2\sqrt{14}$ である。これで共通因数 $2$ が見えるようになる。

   $x=\frac{6\pm2\sqrt{14}}{2}=\frac{2\left(3\pm\sqrt{14}\right)}{2}=3\pm\sqrt{14}$

   $2$ は分子の両方の項から約分しなければならない。$6$ とだけ約分すると、誤った $3\pm2\sqrt{14}$ になってしまう。

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   解と係数の関係と数値で検算する。 2 解の和は $-b/a=6$ になるはずで、$\left(3+\sqrt{14}\right)+\left(3-\sqrt{14}\right)=6$ ✓。積は $c/a=-5$ になるはずで、$3^{2}-\left(\sqrt{14}\right)^{2}=9-14=-5$ ✓。数値では $x\approx6.7417$ と $x\approx-0.7417$ で、どちらも残差は $10^{-11}$ を下回る ✓。