方程式 x^2 - 2x - 4 = 0 を解け。

Step-by-step solution

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   まず因数分解できるか調べる。 積が $-4$、和が $-2$ になる整数の組が必要だが、$(1,-4)$、$(2,-2)$、$(4,-1)$ の和はそれぞれ $-3$、$0$、$3$ である。どれも当てはまらないので、$a=1$、$b=-2$、$c=-4$ として公式を使う。

2. 2

   判別式を計算する。

   $\Delta=(-2)^2-4(1)(-4)=4+16=20$

   正なので、相異なる 2 つの実数解を持つ。

3. 3

   解の公式に代入する。

   $x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}$

4. 4

   根号を簡単にしてから約分する。 $20=4\cdot 5$ なので $\sqrt{20}=2\sqrt5$ となり、すべての項が因数 $2$ を持つ。

   $x=\frac{2\pm 2\sqrt5}{2}=1\pm\sqrt5$

   根号を簡単にする前に約分してはいけない。$\tfrac{2\pm\sqrt{20}}{2}\neq 1\pm\sqrt{20}$ である——$2$ は分子の両方の項を割らなければならないからである。

5. 5

   平方完成で検算する。 $x^2-2x-4=(x-1)^2-5$ であり、これが 0 になるのはちょうど $(x-1)^2=5$ のとき、すなわち $x=1\pm\sqrt5$ のときである $\checkmark$。数値では $x\approx 3.2361$ または $-1.2361$ となる。