二次方程式 x² + 17x - 120 = 0 を解け。

Step-by-step solution

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   まず整数の因数分解を試し、失敗するのを見る。 因数分解するには、積が $-120$、和が $+17$ になる 2 つの整数が必要である。$120$ の因数の組を順に試すと、$(24,-5)$ の和は $19$、$(30,-4)$ は $26$、$(20,-6)$ は $14$、$(40,-3)$ は $37$、$(15,-8)$ は $7$ となる。どれも $17$ にならないので、整数の因数分解は存在しない。ここでよく繰り返される誤答が $(x+24)(x-5)$ だが、これを展開すると $x^2+19x-120$ であって $x^2+17x-120$ ではない。

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   判別式でその失敗を裏づける。 $ax^2+bx+c$ で $a=1$、$b=17$、$c=-120$ とすると

   $\Delta=b^2-4ac=17^2-4(1)(-120)=289+480=769$

   となる。$27^2=729$、$28^2=784$ なので $769$ は連続する 2 つの平方数のちょうど間にあり、平方数ではない。これこそが、上の整数の探索が決して成功し得なかった代数的な理由である。有理数解を持つには判別式が平方数でなければならない。

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   解の公式を適用する。 $\Delta=769>0$ なので、相異なる 2 つの無理数解を持つ。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-17\pm\sqrt{769}}{2}$

   これが厳密な答えである。$769$ は素数なので平方因数を持たず、$\sqrt{769}$ はこれ以上簡単にできない。

4. 4

   小数に直す。 $\sqrt{769}\approx 27.7308$ なので

   $x_1=\frac{-17+27.7308}{2}\approx 5.3654,\qquad x_2=\frac{-17-27.7308}{2}\approx -22.3654$

   となる。$x_2$ が、つい書きたくなる $-24$ からどれだけ離れているかに注目したい。両者は互換ではない。

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   解と係数の関係で検算する。 2 解の和は $-b/a=-17$、積は $c/a=-120$ でなければならない。実際 $5.3654+(-22.3654)=-17$ であり、厳密にも

   $x_1x_2=\frac{(-17)^2-769}{4}=\frac{289-769}{4}=\frac{-480}{4}=-120$

   となる。どちらの条件も満たされているので、解は正しい。