2 次方程式 40x² + 98x − 33 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   何よりも先に判別式を計算する。 $a=40$、$b=98$、$c=-33$ として、

   $\Delta=b^2-4ac=98^2-4(40)(-33)=9604+5280=14884$

   最高次の係数が $40$ だと当てずっぽうの因数分解は骨が折れるので、きれいな因数がそもそも存在するかどうかを $\Delta$ の 1 行で確かめる価値がある。

2. 2

   14884 が平方数であることを見抜く。 目につく因数 $4$ をくくり出す：

   $14884=4\cdot 3721,\qquad \sqrt{14884}=2\sqrt{3721}=2\cdot 61=122$

   $61^2=3721$ だからである。判別式が平方数なら有理数の解が 2 つあることが保証され、それはそのまま整数の範囲できれいに因数分解できることを保証する。

3. 3

   解の公式に代入する。

   $x=\frac{-98\pm 122}{2\cdot 40}=\frac{-98\pm 122}{80}$

   これでどちらの枝も小数ではなく簡単な分数になる。

4. 4

   それぞれの解を約分する。

   $x=\frac{-98+122}{80}=\frac{24}{80}=\frac{3}{10},\qquad x=\frac{-98-122}{80}=\frac{-220}{80}=-\frac{11}{4}$

   必ず約分する。$24/80$ も $-220/80$ も共通因数を隠し持っている。

5. 5

   因数分解の形を読み取り、検証する。 解 $3/10$ と $-11/4$ は因数 $(10x-3)$ と $(4x+11)$ に対応し、それぞれの最高次の係数の積は $10\cdot 4=40$ になる：

   $(10x-3)(4x+11)=40x^2+110x-12x-33=40x^2+98x-33$

   中央の項が $98x$ に戻るので、解も因数分解の形も確かめられた。