x² − 4x + 3 を因数分解し、その結果を使って x² − 4x + 3 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   目標の形を用意する。 整数の範囲で因数分解できるモニックな 2 次式は

   $x^2 - 4x + 3 = (x - a)(x - b)$

   と書ける。右辺を展開すると $x^2 - (a+b)x + ab$ になるので、2 つの未知数は当てずっぽうではなく 2 つの条件で確定する。

2. 2

   和と積の条件を読み取る。 係数を比べると：

   $a + b = 4, \qquad ab = 3$

   となる。同じことを $x^2 + bx + c$ の形で言えば、積が $c = +3$、和が $-4$ になる 2 数が必要であり、それは $-1$ と $-3$ である。

3. 3

   符号を使って探索を一気に絞る。 積 $+3$ が正なので 2 数は同じ符号をもち、和 $-4$ が負なのでどちらも負でなければならない。$3$ を負の数の積で表す組は $(-1, -3)$ しかなく、実際 $(-1)(-3) = 3$、$(-1) + (-3) = -4$ である。したがって

   $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$

   となる。

4. 4

   展開して因数分解を確かめる。

   $(x - 1)(x - 3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3 \ \checkmark$

   中央の係数は 2 つの交差項 $-3x$ と $-x$ から出てくる。この展開の一手があるからこそ、「どうやってそれが出たのか」という問いに答えられる。

5. 5

   積が 0 になる条件を使う。 積が 0 になるのは、その因数のどれかが 0 になるときだけである：

   $(x - 1)(x - 3) = 0 \ \Longrightarrow \ x - 1 = 0 \ \text{または} \ x - 3 = 0$

   $x = 1 \quad \text{または} \quad x = 3$

   代入して戻すと $1 - 4 + 3 = 0$、$9 - 12 + 3 = 0$ である。解の公式でも同じ組が得られる：$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$。