a を任意の実数の助変数とするとき、不等式 x^2 - ax + 1 < 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   式変形の前にグラフの様子を読む。 $f(x)=x^2-ax+1$ とおく。最高次の係数は $1>0$ なのでグラフは下に凸の放物線である。下に凸の放物線が $x$ 軸より下に沈むのは、軸を実際に 2 回横切るときだけである。したがって問題全体は、どの $a$ に対して $f$ が相異なる 2 つの実数解を持つのか、そしてその解はどこか、という問いに帰着する。

2. 2

   判別式を計算する。 $A=1$、$B=-a$、$C=1$ とすると

   $\Delta=B^2-4AC=(-a)^2-4(1)(1)=a^2-4$

   となる。相異なる 2 つの実数解を持つには $\Delta>0$、すなわち $a^2>4$、すなわち $|a|>2$ が必要である——つまり $a<-2$ または $a>2$ である。

3. 3

   まず解なしの場合を片づける。 $-2\le a\le2$ なら $\Delta\le0$ である。$\Delta<0$ のとき放物線は軸に触れることがなく $f(x)>0$ が至るところで成り立つ。$\Delta=0$ のとき（$a=\pm2$）は 1 点で接し、そこでは $f=0$ となるが、狭義の不等式は依然として満たされない。したがって

   $-2\le a\le2\ \Longrightarrow\ \text{解なし}\ (\varnothing)$

   となる。たとえば $a=2$ では $f(x)=(x-1)^2\ge0$ であり、決して負にならない。

4. 4

   |a| > 2 のときの解を求める。 解の公式より

   $x=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}$

   なので $x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}$、$x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$ である。$\sqrt{a^2-4}>0$ なので $x_1<x_2$ となる。

5. 5

   2 解の間の区間をとる。 下に凸の放物線が負になるのはちょうど 2 解の間なので、$|a|>2$ のとき

   $\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}<x<\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$

   となる。この式は $a>2$ の場合も $a<-2$ の場合も同じ形で成り立ち、負のほうを別に扱う必要はない。

6. 6

   述べておく価値のある構造上の事実。 2 解の積は $\tfrac{C}{A}=1$ なので、常に $x_1x_2=1$ である。よって 2 解は互いに逆数であり、符号は同じになる。$a>2$ ならどちらも正、$a<-2$ ならどちらも負である。したがって解の区間が $0$ を含むことは決してなく、$f(0)=1>0$ と整合する。

7. 7

   場合ごとに数値で検証する。 $a\in\{-5,-2.5,-2,-1,0,1,2,2.5,7\}$ のそれぞれについて、$[-20,20]$ 上の $4001$ 点で $f$ の値を求め、符号を予測した解集合と照合したところ食い違いは 0 件であり、$|a|>2$ のときは 2 つの解のいずれでも $f=0$ が $10^{-9}$ の精度で成り立った ✓。