不等式 ax² + (1 − a)x − 1 < 0 を解け。ここで a は実数の定数とし、すべての場合を論ぜよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず因数分解する。解の公式よりずっと見通しがよい。 $(x-1)(ax+1)$ と当たりをつけて展開してみると

   $(x-1)(ax+1)=ax^2+x-ax-1=ax^2+(1-a)x-1\ \checkmark$

   となるので、不等式は

   $(x-1)(ax+1)<0$

   である。したがって解は $x=1$（$a$ によらず固定）と、$a\neq0$ のときの $x=-\tfrac1a$ である。

2. 2

   縮退する場合 a = 0 を先に片づける。 $a=0$ では $x^2$ の項が消え、不等式は一次になる。

   $x-1<0\quad\Longrightarrow\quad x<1$

3. 3

   場合 a > 0：下に凸で、2 解の大小は固定される。 $a>0$ なので $-\tfrac1a<0<1$ であり、動くほうの解はつねに $1$ の左にある。下に凸の放物線は 2 解の間で負なので

   $-\frac1a<x<1$

4. 4

   a < 0 はさらに分けなければならないと気づく。ここが多くの解答の落とし穴である。 $a<0$ のとき $-\tfrac1a$ は正になり、それが $1$ とどちらが大きいかは $a$ の大きさで決まる。

   $-1<a<0\ \Longrightarrow\ -\tfrac1a>1,\qquad a=-1\ \Longrightarrow\ -\tfrac1a=1,\qquad a<-1\ \Longrightarrow\ 0<-\tfrac1a<1$

   たとえば $a=-\tfrac12$ なら $-\tfrac1a=2>1$ だが、$a=-3$ なら $-\tfrac1a=\tfrac13<1$ である。負の $a$ すべてについて $-\tfrac1a>1$ と言い切るのは端的に誤りである。

5. 5

   場合 −1 < a < 0。 放物線は上に凸で、2 解の並びは $1<-\tfrac1a$ となる。上に凸の放物線は 2 解の外側で負なので

   $x<1\qquad\text{または}\qquad x>-\frac1a$

6. 6

   場合 a < −1、および境目の a = −1。 $a<-1$ では 2 解の並びが入れ替わって $-\tfrac1a<1$ となるので、「解の外側」は

   $x<-\frac1a\qquad\text{または}\qquad x>1$

   と読める。ちょうど $a=-1$ では 2 解が重なり、$ax^2+(1-a)x-1=-x^2+2x-1=-(x-1)^2$ となる。これは $x=1$ を除くすべての $x$ で負になり、その点では 0 になる。したがってこの場合の解は $x\neq1$、すなわち $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ である。

7. 7

   場合分けの表全体を数値で検証する。 $a$ を $-6$ から $6$ まで $\tfrac14$ 刻みで $49$ 通り、それぞれについて $[-8,8]$ 上の $8001$ 個の厳密な有理数の $x$ を試すと、上の 5 通りの記述は $ax^2+(1-a)x-1$ の実際の符号と 1 点残らず一致し、食い違いは 0 である ✓。3 通り版はただちに破綻し、たとえば $a=-3$、$x=0.34$ では負と予測するのに実際の値は $+0.0132$ である。