方程式 x^2 - 4x + 3 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   解の公式より先に因数分解を試す。 最高次の係数が 1 の二次式では、積が定数項 $3$、和が一次の係数 $-4$ になる 2 数を探せばよい。符号が探索を絞ってくれる。積が正で和が負ということは、2 数はどちらも負である。

2. 2

   組を見つける。 $3$ の負の因数の組は $(-1,-3)$ しかなく、これが条件を満たす。

   $(-1)(-3)=3\ \checkmark\qquad -1+(-3)=-4\ \checkmark$

   したがって

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$

   となる。

3. 3

   積が 0 になる条件を使う。 2 つの実数の積が 0 になるのは、少なくとも一方が 0 のときに限る。

   $(x-1)(x-3)=0\qquad\Longrightarrow\qquad x-1=0\ \text{ または }\ x-3=0$

   この手順が使えるのは右辺が $0$ のときだけである。すべてを片側に寄せる作業が先に来るのはそのためである。

4. 4

   それぞれの因数について解く。

   $x=1\qquad\text{または}\qquad x=3$

5. 5

   2 つの解を検算する。 $x=1$ では $1-4+3=0$ ✓。$x=3$ では $9-12+3=0$ ✓。解と係数の関係でも確認できる。2 解の和は $4=-b/a$、積は $3=c/a$ ✓。

6. 6

   グラフを押さえる。 この放物線は下に凸で、軸と $1$ と $3$ で交わる。したがって頂点はその中点 $x=2$ にあり、そこでの値は $y=4-8+3=-1$ ——これが最小値である。ここから、$x^2-4x+3<0$ となるのはちょうど $(1,3)$ の上だけだと分かる。