x² − 7x + 12 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   探索を設定する。 モニックな 2 次式 $x^2+bx+c$ を因数分解するとは、積 が $c=12$、和 が $b=-7$ になる 2 数を見つけることである。その 2 数を $m$、$n$ として $x^2+bx+c=(x+m)(x+n)$ となる。

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   何かを並べる前に符号で探索を絞る。 積 $+12$ が正なので 2 数は同じ符号をもち、和 $-7$ が負なので、その共通の符号は 負 である。調べる必要があるのは負の組だけであり——これで手間が半分になる。

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   12 を負の数の積で表す組と、その和を並べる。

   $(-1,-12)\to-13,\qquad(-2,-6)\to-8,\qquad(-3,-4)\to-7\ \checkmark$

   組 $-3$ と $-4$ がうまくいく。$(-3)(-4)=12$、$-3+(-4)=-7$ である。

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   因数分解を書く。

   $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$

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   展開して確かめる。 $(x-3)(x-4)=x^2-4x-3x+12=x^2-7x+12$ ✓。中央の係数は 和、定数項は 積 であり、まさに設計どおりである。

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   解を読み取って検算する。 式は $x=3$ と $x=4$ で 0 になる。もとの式と因数分解した形を $-30$ から $29$ までのすべての整数で比べると完全に一致する ✓。また判別式 $49-48=1$ は平方数であり、整数の因数が必ず存在することの保証になっている。