不等式 x^2 - 3x - 10 ≤ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   左辺を因数分解する。 積が $-10$、和が $-3$ になる 2 数は $-5$ と $2$ である。

   $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)\le 0$

2. 2

   解を求める。 積が 0 になるのは $x=5$ と $x=-2$ のときである。不等号が等号を含むので、この 2 つの値も解に含まれる。

3. 3

   積が負になる範囲を判断する。 最高次の係数は $+1$ なので放物線は下に凸であり、軸より下にあるのは 2 解の間だけである。同じことを因数で言えば、$-2<x<5$ では $(x+2)$ が正、$(x-5)$ が負なので積は負になる。

4. 4

   閉区間として答える。

   $-2\le x\le 5,\qquad\text{つまり }[-2,\,5]$

5. 5

   3 つの領域と端点をすべて試す。 $x=0$ では $-10\le 0$ $\checkmark$。$x=6$ では $36-18-10=8\not\le 0$ $\checkmark$。$x=-3$ では $9+9-10=8\not\le 0$ $\checkmark$。$x=5$ と $x=-2$ では式の値がちょうど $0$ になり、$\le 0$ を満たす $\checkmark$。