不等式 x² − 2x > 3 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   すべてを片側に移す。 符号の分析は、不等式が式と 0 とを比べる形になって初めて使える。

   $x^2-2x-3>0$

2. 2

   二次式を因数分解する。 積が $-3$、和が $-2$ になる 2 数は $-3$ と $1$ である。

   $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)>0$

3. 3

   臨界点を見つける。 因数が 0 になるのは $x=3$ と $x=-1$ で、数直線が 3 つの区間 $(-\infty,-1)$、$(-1,3)$、$(3,\infty)$ に分かれる。

4. 4

   各区間で符号を決める。 $x<-1$ ではどちらの因数も負なので積は正、2 解の間では因数の符号が逆なので積は負、$x>3$ ではどちらも正である。同じ結論はグラフの形からも出る。下に凸の放物線は 2 解の外側で軸より上にある。

5. 5

   解を書き、検算する。 積が正であってほしいので

   $x<-1\quad\text{または}\quad x>3,\qquad\text{すなわち }(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$

   となる。$x=-2$ を試すと $4+4=8>3$ $\checkmark$。$x=0$ では $0>3$ が偽 $\checkmark$。$x=4$ では $16-8=8>3$ $\checkmark$。端点が除かれるのは、そこでちょうど $x^2-2x=3$ になるからである。