不等式 −x² + 4x − 3 ≥ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   最高次の係数を正にする。 不等式全体に $-1$ を掛け、向きを反転させる：

   $x^2-4x+3\le 0$

   反転を飛ばすのが、$x^2$ の係数が負のときに最も多い誤りである。そのままにすると、真の答えの補集合が出てしまう。

2. 2

   因数分解する。 積が $3$、和が $-4$ となるのは $-1$ と $-3$ である：

   $(x-1)(x-3)\le 0$

3. 3

   領域を読み取る。 放物線 $y=x^2-4x+3$ は下に凸なので、軸以下になるのはちょうど 2 解の間であり、端点も含まれる：

   $1\le x\le 3$

4. 4

   元の不等式と照らし合わせる。 $y=-x^2+4x-3$ は上に凸で解も同じく $1$ と $3$ なので、その間で軸以上になる——反転を一切使わずに同じ区間に到達する。独立な 2 つの道筋が一致することは良い確認になる。

5. 5

   値を代入する。 $x=2$ では $-4+8-3=1\ge 0$ $\checkmark$。$x=0$ では $-3\not\ge 0$ $\checkmark$。$x=4$ では $-16+16-3=-3\not\ge 0$ $\checkmark$。$x=1$ と $x=3$ では値が $0$ となり、$\ge 0$ を満たす $\checkmark$。