x^2 - 3x - 10 ≥ 0 と x^2 - 1 ≤ 0 をそれぞれ解き、両方を満たす x を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   1 つ目の二次式を因数分解する。 積が $-10$、和が $-3$ になる 2 数は $-5$ と $+2$ である。

   $x^{2}-3x-10=(x-5)(x+2)\ge 0$

   境界となる値は $x=-2$ と $x=5$ である。

2. 2

   放物線の形から 1 つ目の解集合を読み取る。 最高次の係数が正なので、この下に凸の放物線が軸上またはその上にあるのは 2 解の外側である（$x=0$ を試すと $-10<0$ なので真ん中の区間は不適）。

   $(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$

   不等号が等号を含むので、両方の端点が入る。

3. 3

   2 つ目の二次式を平方の差として因数分解する。

   $x^{2}-1=(x-1)(x+1)\le 0$

   境界となる値は $x=-1$ と $x=1$ である。

4. 4

   2 つ目の解集合を読み取る。 下に凸の放物線が軸上またはその下にあるのは 2 解の間である（$x=0$ を試すと $-1\le 0$ ✓）。

   $[-1,1]$

5. 5

   2 つの集合の共通部分を取る。 同じ数直線の上に重ねてみると、2 つ目の集合はすべて $(-2,5)$ の内側にあり、そこはまさに 1 つ目の集合が除外している区間である。形式的に書けば $[-1,1]\cap(-\infty,-2]=\varnothing$ かつ $[-1,1]\cap[5,\infty)=\varnothing$ なので

   $\left((-\infty,-2]\cup[5,\infty)\right)\cap[-1,1]=\varnothing$

   となる。

6. 6

   両方の答えを述べる。 個別には $(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$ と $[-1,1]$。同時に満たすものは、そのような実数 $x$ は存在しない。この連立は矛盾しており、2 つの二次不等式を同時に課すときには必ず確認しておく価値のある点である。