不等式 (x³ + 1)(x² − 2) < x(x³ + 1) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   すべてを一方に集める——$x^{3}+1$ で割ってはいけない。 符号の分からない式で割ると、数直線の一部で不等号が黙って反転してしまう。代わりに引く：

   $\left(x^{3}+1\right)\left(x^{2}-2\right)-x\left(x^{3}+1\right)<0$

   そして共通の $x^{3}+1$ をくくり出す：

   $\left(x^{3}+1\right)\left(x^{2}-x-2\right)<0$

2. 2

   どちらの部分も完全に因数分解する。 3 乗の和と単純な 3 項式として：

   $x^{3}+1=(x+1)\left(x^{2}-x+1\right),\qquad x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$

   なので不等式は

   $(x+1)^{2}\left(x^{2}-x+1\right)(x-2)<0$

   となる。因数 $(x+1)$ が 2 回現れることが、構造上の要である。

3. 3

   符号が決して変わらない因数を取り除く。 $(x+1)^{2}\ge 0$ は常に成り立ち、等号は $x=-1$ のときだけである。また $x^{2}-x+1$ は判別式が $(-1)^{2}-4=-3<0$ で最高次の係数が正なので、すべての実数 $x$ に対して狭義に正である。どちらも積を負にすることはできない。

4. 4

   符号の条件を 1 つに絞る。 2 つの非負な因数を脇へどけると、積が負になるのは $x-2<0$ かつどちらの非負因数もゼロでないとき、ちょうどそのときである：

   $x<2\quad\text{かつ}\quad x\ne -1$

   $x=-1$ では積全体が $0$ になり、$0<0$ は偽なので、$-1$ はくり抜かなければならない。

5. 5

   解集合を書く。

   $(-\infty,-1)\cup(-1,2)$

   不等号が狭義なので $x=2$ も除かれる。

6. 6

   各区間を抜き取り検算する。 $g(x)$ を左辺から右辺を引いたものとする。すると $g(-3)=-260<0$、$g(0)=-2<0$（どちらも解集合の内側）、一方 $g(-1)=0$、$g(2)=0$（除外）、$g(3)=112>0$（外側）である。これはグラフが $x=-1$ でゼロに触れるだけで横切らないことも示している——偶数重複度の根の特徴である。