不等式 x^2 - 2x + 1 > 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   公式に手を伸ばす前に完全平方式を見抜く。 $a=x$、$b=1$ とした $a^2-2ab+b^2$ の形なので

   $x^2-2x+1=(x-1)^2$

   となる。判別式もこれを裏づける。$\Delta=4-4=0$ は重解の証である。

2. 2

   不等式を書き直す。

   $(x-1)^2>0$

3. 3

   平方は決して負にならないという事実を使う。 $(x-1)^2\ge 0$ は常に成り立ち、等号が成り立つのはちょうど $x-1=0$ のときである。したがって狭義の不等式は、その 1 点を除くすべての場所で成り立つ。

   $x\neq 1$

4. 4

   答えを 2 つの区間の和集合として書く。

   $(-\infty,1)\cup(1,\infty)$

   $x=1$ を試すと $1-2+1=0$ で $>0$ ではない $\checkmark$。$x=0$ を試すと $1>0$ $\checkmark$。$x=1.01$ を試すと $0.0001>0$ $\checkmark$。不等号を変えると答えがどう変わるかも押さえておきたい。$\ge 0$ ならすべての実数、$<0$ なら空集合、$\le 0$ なら $\{1\}$ だけになる。