不等式 4x² − 4x + 1 > 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   最高次の係数が 1 でない完全平方の形に当てはめる。 ここでは $4x^2=(2x)^2$、$1=1^2$ であり、中央の項も合う：

   $2\cdot(2x)\cdot 1=4x\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-4x+1=(2x-1)^2$

2. 2

   判別式で確かめる。 $\Delta=(-4)^2-4(4)(1)=16-16=0$ なので重解がちょうど 1 つあり、符号は変化しない。

3. 3

   2 乗についての主張に帰着させる。

   $(2x-1)^2>0\iff 2x-1\neq 0$

4. 4

   除外される値を求める方程式を解く。

   $2x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac12$

   したがって $\tfrac12$ 以外のすべての実数がこの不等式を満たす。

5. 5

   検算し、係数が 1 の場合と比べる。 $x=\tfrac12$ のとき $1-2+1=0$ で $>0$ ではない $\checkmark$。$x=0$ のとき $1>0$ $\checkmark$。構造は $x^2-2x+1>0$ とまったく同じだが、底が $x-1$ ではなく $2x-1$ であるため、重解は $1$ から $\tfrac12$ に移る。