公式を使って x² − 8xy + 16y² を完全平方の形に書き直せ。

Step-by-step solution

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   どの公式を試すかを決める。 両端の 2 項が平方で、中央の項が 1 つしかない 3 項式は、次の公式の候補である：

   $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

   しらみつぶしに因数分解するよりまずこれを試すほうが速いが、確認はきちんとやらねばならない。平方が 2 つあるだけでは足りず、中央の項が $-2ab$ とぴたり一致する必要がある。

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   両端の項から $a$ と $b$ を定める。 最初の項はすでに平方 $x^2$ なので $a=x$ である。最後の項は $16y^2=(4y)^2$ なので $b=4y$ となる。$b$ は $y$ だけではなく $4y$ という量全体であることに注意する。係数を $b$ の中に取り込むからこそ、次の確認がうまくいく。

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   中央の項を検証する。 $a=x$、$b=4y$ のとき、

   $-2ab=-2\cdot x\cdot 4y=-8xy$

   であり、これは与えられた中央の項そのものである。3 つの項がすべて型に合うので、この 3 項式は本当に完全平方である。もし中央の項が、たとえば $-4xy$ のように別のものであったなら、この式は完全平方ではなく、別の方法が必要になる。

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   差の平方として書く。 かっこの中の符号は中央の項の符号をそのまま写すので、$-8xy$ ならマイナスになる：

   $x^2-8xy+16y^2=(x-4y)^2$

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   展開し直して確認する。 $(x-4y)^2=x^2-2(x)(4y)+16y^2=x^2-8xy+16y^2$ である。数値での確認はさらに速い。$x=5,\,y=1$ ではもとの式は $25-40+16=1$、$(5-4)^2=1$ である。どちらも一致するので、答えは $(x-4y)^2$ である。