不等式 −x² + 4x − 4 < 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   先頭のマイナスをくくり出して構造を露わにする。

   $-x^2+4x-4=-\left(x^2-4x+4\right)$

   かっこの中は見慣れた完全平方式である。

2. 2

   完全平方であることを見抜く。

   $x^2-4x+4=(x-2)^2\quad\Longrightarrow\quad -x^2+4x-4=-(x-2)^2$

3. 3

   平方の符号を使う。 すべての実数 $x$ について $(x-2)^2\ge 0$ なので、$-(x-2)^2\le 0$ である。したがってこの式が正になることは決してない。残る問いは、どこでゼロに等しくなるかだけである。

4. 4

   等号の場合を突き止める。 $-(x-2)^2=0$ となるのはちょうど $x=2$ のときである。不等式は狭義（$\le 0$ ではなく $<0$）なので、この 1 点は除外しなければならない。

5. 5

   解集合を書く。

   $\boxed{x\in(-\infty,2)\cup(2,\infty),\ \text{すなわちすべての実数 }x\neq 2}$

6. 6

   判別式でも照合する。 $-x^2+4x-4$ の判別式は $4^2-4(-1)(-4)=16-16=0$ なので、放物線は $x$ 軸と 1 点で接し、上に凸（$a=-1<0$）なのでそれ以外のところでは軸より狭義に下にある——上で到達したのとまったく同じ結論である。代表値：$x=0$ では値は $-4<0$、$x=2$ では $0$、$x=5$ では $-9<0$。