方程式 (x + 8)(x + 3) = 9 を解け。

Step-by-step solution

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   この段階でまだ「積が 0」の性質を使ってはいけない。 $(x+8)(x+3)=9$ は $x+8=9$ または $x+3=9$ を意味しない。積がゼロに等しいときにしか、あの性質は使えない。まず標準形に直す必要がある。

2. 2

   展開して整理する。

   $(x+8)(x+3)=x^2+3x+8x+24=x^2+11x+24$

   $x^2+11x+24=9\quad\Longrightarrow\quad x^2+11x+15=0$

3. 3

   整数の範囲で因数分解できるか調べる。 積が $15$、和が $11$ になる 2 つの整数が必要である。$15$ の因数の組は $1\cdot 15$（和 $16$）と $3\cdot 5$（和 $8$）だけで、どちらも和が $11$ にならない。特に $6$ と $5$ という誘惑的な組は $6\cdot 5=30\neq 15$ なので成立しない。よってこの二次式に整数の因数分解は存在しない。

4. 4

   判別式で裏づけてから解の公式を使う。

   $\Delta=11^2-4(1)(15)=121-60=61$

   $61$ は素数なので平方数ではなく、解が無理数であることが確定する。

   $x=\frac{-11\pm\sqrt{61}}{2}$

5. 5

   数値を出して検算する。 $\sqrt{61}\approx 7.8102$ なので

   $x\approx-1.5949\qquad\text{または}\qquad x\approx-9.4051$

   となる。$x\approx-1.5949$ を代入すると $(6.4051)(1.4051)\approx 9.000$ $\checkmark$。解と係数の関係でも確認できる。2 解の和は $-11$、積は $15$ で、係数と一致する。