方程式 x^2 = 2x + 17 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   標準形に直す。 片側が 0 になるように、両辺から $2x$ と $17$ を引く。

   $x^{2}-2x-17=0$

   よって $a=1$、$b=-2$、$c=-17$ である。移項した 2 項はどちらも符号が変わる。

2. 2

   判別式を計算する。

   $\Delta=(-2)^{2}-4(1)(-17)=4+68=72$

   $\Delta=72>0$ なので相異なる 2 つの実数解を持つ。平方数ではないので整数の範囲での因数分解は不可能である——$17$ は素数なので、積が $-17$、和が $-2$ になる整数の組は存在しない。

3. 3

   解の公式を適用する。

   $x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{72}}{2(1)}=\frac{2\pm\sqrt{72}}{2}$

4. 4

   約分する前に根号を簡単にする。 最大の平方因数を取り出すと $72=36\cdot2$ なので $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ である。したがって

   $x=\frac{2\pm6\sqrt{2}}{2}=\frac{2\left(1\pm3\sqrt{2}\right)}{2}=1\pm3\sqrt{2}$

   となる。$\sqrt{72}$ を簡単にしないままだと共通因数 $2$ が隠れてしまい、きれいな約分ができなくなる。

5. 5

   2 つの解を検算する。 解と係数の関係より、和は $-b/a=2$ になるはずで、実際 $\left(1+3\sqrt2\right)+\left(1-3\sqrt2\right)=2$ ✓。積は $c/a=-17$ になるはずで、$1^{2}-\left(3\sqrt2\right)^{2}=1-18=-17$ ✓。数値では $x\approx5.2426$ と $x\approx-3.2426$ で、どちらも $x^{2}-2x-17$ に代入した残差が $10^{-11}$ を下回る ✓。