方程式 2x² = 2x + 1 を解け。

Step-by-step solution

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   方程式を標準形に直す。 解の公式は $ax^{2}+bx+c=0$ の形を要求するので、両辺から $2x+1$ を引く。

   $2x^{2}-2x-1=0$

   これで $a=2$、$b=-2$、$c=-1$ となる。$c$ が 負 であることに注意したい。$+1$ を移項したので符号が変わっている。

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   判別式を計算して方針を決める。

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(2)(-1)=4+8=12$

   $-4(2)(-1)=+8$ という負×負の箇所が要注意である。$\Delta=12>0$ なので相異なる 2 つの実数解を持つが、$12$ は 平方数ではない ので解は無理数であり、整数の範囲での因数分解は存在しない——ここは公式の出番である。

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   解の公式に代入する。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{4}$

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   根号を簡単にし、分数を約分する。 $12=4\cdot3$ なので $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ となる。

   $x=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{2\left(1\pm\sqrt{3}\right)}{4}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$

   共通因数 $2$ は分子の 両方 の項から約分しなければならない。先頭の $2$ だけを約分してしまうのが定番の誤りである。

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   解と係数の関係と代入で検証する。 2 解の和は $-b/a=1$、積は $c/a=-\tfrac12$ になるはずである。

   $\frac{1+\sqrt3}{2}+\frac{1-\sqrt3}{2}=1\ \checkmark,\qquad\frac{(1)^{2}-(\sqrt3)^{2}}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac12\ \checkmark$

   数値では解は $\approx1.3660$ と $\approx-0.3660$ であり、どちらを $2x^{2}-2x-1$ に代入しても残差は $10^{-12}$ を下回る ✓。