不等式 (x + 1)(x - 4) < 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   因数からそのまま境界の値を読み取る。 式はすでに因数分解されているので、$x=-1$ と $x=4$ で値が 0 になる。この 2 点が数直線を 3 つの区間 $(-\infty,-1)$、$(-1,4)$、$(4,\infty)$ に分ける。積の符号が変わりうるのはいずれかの因数が 0 になるところだけなので、各区間の内部では符号は一定である。

2. 2

   グラフの形から答えを予想する。 展開すると $x^2-3x-4$ で、$-1$ と $4$ を解に持つ下に凸の放物線である。この曲線が軸より下にあるのは 2 つの解の間だけなので、$-1<x<4$ が予想できる。以下の区間ごとの代入がそれを裏づける。

3. 3

   各区間で代入しやすい点を 1 つずつ試す。

   $x=-2:\ (-1)(-6)=6>0,\qquad x=0:\ (1)(-4)=-4<0,\qquad x=5:\ (6)(1)=6>0$

   区間の内部で符号が変わらないからこそ、1 区間につき 1 点で足りる。

4. 4

   積が負になる区間を選ぶ。 条件を満たすのは真ん中の区間だけである。

   $-1<x<4$

   構造的に見れば、ここは 2 つの因数の符号が逆になる範囲である。すなわち $x+1>0$ かつ $x-4<0$ となる。

5. 5

   端点の扱いを決める。 $x=-1$ と $x=4$ では積が $0$ になり、$0<0$ は偽なので、どちらの端点も除外される。解集合は開区間

   $x\in(-1,4)$

   である。（不等式が $\le 0$ だったなら、答えは閉区間 $[-1,4]$ になっていた。）