不等式 (x − 2)(x + 1)(x − 4) < 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   臨界点を求める。 積がゼロになるのは、どれかの因数が消える点ちょうどである：

   $x=-1,\qquad x=2,\qquad x=4.$

   不等号が狭義なので、この 3 つの値はどれも解集合に属さない——境界にすぎない。符号表を描く前に、小さい順へ並べておくことが欠かせない。

2. 2

   数直線を 4 つの区間に分ける。 3 つの根が作るのは

   $(-\infty,-1),\quad(-1,2),\quad(2,4),\quad(4,\infty).$

   1 次因数の積の符号は各区間で一定なので、区間ごとにテスト値を 1 つ取れば決着する。

3. 3

   各区間で 1 点ずつ試す。 負の因数の個数を数える：

   $x=-2:\ (-4)(-1)(-6)<0;\qquad x=0:\ (-2)(1)(-4)>0;$

   $x=3:\ (1)(4)(-1)<0;\qquad x=5:\ (3)(6)(1)>0.$

   負の因数が奇数個なら積は負、偶数個なら正になる——根を 1 つまたぐたびに符号が交互に入れ替わるのはそのためである。

4. 4

   重複度による近道を検算に使う。 ここではどの根も単純（重複度 1）なので、それぞれの根で符号が反転する。3 つの因数がすべて正である右端から出発すると、左へ進むときのパターンは $+,-,+,-$ でなければならず、テスト値とちょうど一致する ✓。どれかの因数が 2 乗になっていたら、そこでは符号は反転しなかった。

5. 5

   積が負になる区間を集める。 符号表を読むと：

   $x\in(-\infty,-1)\cup(2,4).$

   端点はすべて開いている。もし不等号が $\le0$ であれば、答えは代わりに $(-\infty,-1]\cup[2,4]$ となり、3 つの根が含まれる。