不等式 (x − 2)³ (x − 4)⁴ (x − 5)³ (x − 10)⁶ ≤ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   零点とその重複度を書き出す。 積が 0 になるのはちょうど次の点である。

   $x=2\ (\text{重複度 }3),\quad x=4\ (\text{重複度 }4),\quad x=5\ (\text{重複度 }3),\quad x=10\ (\text{重複度 }6).$

   不等号が $<$ ではなく $\le$ なので、この 4 点はいずれも自動的に解になる。この点が $x=10$ で大いに効いてくる。

2. 2

   指数の偶奇を使って問題を小さくする。 偶数乗は決して負にならないので、$(x-4)^{4}$ と $(x-10)^{6}$ はどこでも $\ge 0$ であり、どこでも符号を反転させることはない。零点から離れたところでは、積全体の符号は

   $(x-2)^{3}(x-5)^{3},$

   の符号に等しい。さらに 3 乗は符号を保つので、これは $(x-2)(x-5)$ の符号と同じである。

3. 3

   $(x-2)(x-5)$ の符号を読む。 上に開くこの放物線は、2 解のあいだで狭義に負、その外側で正である：

   $(x-2)(x-5)<0\iff 2<x<5.$

   したがって積は $(2,5)$ で負である。ただし $x=4$ ではちょうど 0 になるが、それでも $\le 0$ を満たすので、そこで失われるものはない。そして $(-\infty,2)\cup(5,10)\cup(10,\infty)$ では正である。

4. 4

   孤立点も含めて解集合を組み立てる。 負になる区間と 4 つの零点をすべて合わせると

   $[2,5]\cup\{10\}.$

   となる。点 $x=10$ は孤立している。その両側では積は狭義に正である（6 乗に正の因子を掛けたものだから）が、$x=10$ そのものでは積が $0$ になり、$\le$ はこれを認めるからである。この点を落とすことが、この型の問題で最も多い誤りである。

5. 5

   代表的な値で検算する。 $x=0$：$(-8)(256)(-125)(10^{6})>0$ なので除外 ✓。$x=3$：$(1)(1)(-8)(\ldots)=-941192<0$ なので採用 ✓。$x=4.5$：$\approx-3379<0$ なので採用 ✓。$x=6$：$+4194304>0$ なので除外 ✓。$x=9$：$+13720000>0$ なので除外 ✓。$x=10$：ちょうど $0$ なので採用 ✓。$x=11$：$+378071064>0$ なので除外 ✓。