不等式 x/2 > x − 1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   両辺を 2 倍して分数を払う。 掛ける数 $2$ は正なので、不等号の向きは変わらない——文字を掛ける場合と違い、この操作は安全である。

   $x>2(x-1)=2x-2$

   $2$ は $x-1$ の両方の項に届かせなければならない点に注意する。

2. 2

   文字の項を集める。 両辺から $2x$ を引くと

   $x-2x>-2\qquad\Longrightarrow\qquad-x>-2$

   となる。係数が負になったので、次に注意の要る操作が控えている。

3. 3

   $-1$ を掛けて不等号を反転させる。 不等式の両辺の符号を変えると、向きは逆になる。

   $x<2$

   反転を忘れるとちょうど逆の誤答 $x>2$ になるので、ここがこの問題の核心である。反転をそもそも避ける別解もある。$x>2x-2$ の両辺に $2$ を足して $x$ を引けば直ちに $2>x$ が得られ、これを読み替えて $x<2$ ✓——同じ答えで、負の係数が現れない。

4. 4

   解集合を述べる。 区間の記法では $(-\infty,2)$ となる。不等号が等号を含まないので $2$ は除外される。

5. 5

   境界の前後で検算する。 $x=0$ では左辺 $0$、右辺 $-1$ で $0>-1$ ✓（内側）。$x=4$ では左辺 $2$、右辺 $3$ で $2>3$ ✗（外側）。$x=2$ では左辺 $1$、右辺 $1$ で等しくなり、狭義の不等式は成り立たないので端点が開いているのは正しい ✓。元の不等式と $x<2$ は、$80$ 個の厳密な有理点で一致することを確認した ✓。