不等式 x/3 > 4 − (x − 2)/2 を解き、解を区間表示で答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   何かを移項する前に、右辺を整理する。 引き算は分数全体に掛かっているので、まず分けてしまう：

   $\frac{x-2}{2}=\frac{x}{2}-1,$

   したがって

   $4-\frac{x-2}{2}=4-\left(\frac{x}{2}-1\right)=4-\frac{x}{2}+1=5-\frac{x}{2}.$

   典型的な誤りは $4-\frac{x}{2}-1=3-\frac{x}{2}$ と書いてしまうことである。前に付いたマイナスは $-1$ にも届き、それを $+1$ に変える。

2. 2

   整理した右辺で不等式を書き直す。 いま問題は

   $\frac{x}{3}>5-\frac{x}{2}.$

   となった。どちらの $x$ の項も分母が簡単なので、いきなり全体に $6$ を掛けるより、項をまとめるほうが安上がりである。どちらの道筋でも解けるが、まとめるほうが数が小さく保てる。

3. 3

   $x$ の項を左辺に集める。 両辺に $\frac{x}{2}$ を加え、共通分母 $6$ を使うと：

   $\frac{x}{3}+\frac{x}{2}=\frac{2x}{6}+\frac{3x}{6}=\frac{5x}{6},$

   なので不等式は

   $\frac{5x}{6}>5.$

   となる。両辺に同じ項を加えても不等号の向きは決して変わらないので、$>$ はそのままである。

4. 4

   正の係数で割る。 両辺に $\tfrac{6}{5}$（正の数なので符号はそのまま）を掛けると：

   $x>5\cdot\frac{6}{5}=6.$

   区間表示では解は $(6,\infty)$ であり、不等号が狭義なので $6$ は除く。

5. 5

   境界の両側で検算する。 $x=6.1$ のとき：左辺 $=2.0333$、右辺 $=4-\frac{4.1}{2}=1.95$ で、$2.0333>1.95$ ✓。$x=5.9$ のとき：左辺 $=1.9667$、右辺 $=4-1.95=2.05$ となり不等式は成り立たない ✓。$x=6$ ちょうどでは両辺とも $2$ に等しく、$6$ が境界であり、除外されるのが正しいと確かめられる。