x − y = 8 を x について、また y について解き、その解全体を説明せよ。

Step-by-step solution

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   式の本数と未知数の個数を数える。 式は 1 本、未知数は 2 個である。数値として一意に定まるには未知数と同じ本数の独立な式が必要なので、ただ 1 組の $(x,y)$ が答えになることはない——解は無数にあり、それを記述することが課題となる。

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   $x$ について解く。 両辺に $y$ を加える。

   $x=y+8$

   これは $y$ がどんな値であっても $x$ は常に $y$ より $8$ だけ大きいことを表す。

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   $y$ について解く。 改めて両辺から $x$ を引いて符号を変えてもよいし、$x=y+8$ を移項してもよい。

   $y=x-8$

   2 つの形は同値である——一方を他方に代入すると $x=(x-8)+8=x$ ✓ という恒等式になり、同じ情報を担っていることが確かめられる。整数の組 $1600$ 通りで検証済み ✓。

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   解の例を作る。 $y$ を自由に選んで $x$ を計算すると、$y=0\Rightarrow x=8$、$y=2\Rightarrow x=10$、$y=-3\Rightarrow x=5$ となる。いずれも成り立つ：$8-0=8$ ✓、$10-2=8$ ✓、$5-(-3)=8$ ✓。

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   解集合を幾何的に述べる。 $y=x-8$ と書けば、解は傾き $1$、$y$ 切片 $-8$ の直線をなす。その直線上のすべての点が解であり、すべての解がその直線上にある。1 組に絞り込むには独立な式がもう 1 本必要で、たとえば $x+y=2$ を加えれば $x=5$, $y=-3$ となる。