1/x + 1/y = 8 を、x を用いて y について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   未知数 2 つに方程式 1 本では、解が無数にあることに注意する。 したがってやるべきことは数を求めることではなく、$y$ を $x$ の関数として表すことである。答えは点ではなく解の曲線になる。定義域からは $x=0$ と $y=0$ が除かれる。

2. 2

   左辺を通分する。

   $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=8$

3. 3

   分母を払う。 両辺に $xy$ を掛ける（定義域より 0 ではない）：

   $x+y=8xy$

4. 4

   $y$ の項を集めてくくり出す。 $y$ を右辺へ移してくくり出す：

   $x=8xy-y=y(8x-1)$

5. 5

   割り算をして、除外値を述べる。 $8x-1$ で割るには $8x-1\neq 0$ が必要である：

   $y=\frac{x}{8x-1},\qquad x\neq 0,\ x\neq\frac{1}{8}$

   $x=\tfrac18$ が除かれるのは、そのとき既に $\tfrac1x=8$ となって $\tfrac1y=0$ が残るからで、これはありえない。

6. 6

   曲線上の 2 点で確かめる。 $x=1$ では $y=\tfrac17$ であり、$1+7=8$ $\checkmark$。$x=\tfrac14$ では $y=\tfrac{1/4}{1}=\tfrac14$ であり、$4+4=8$ $\checkmark$。