2(5 − 4x) − 7 = −3(2x + 1) + 2(3 − x) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   左辺を展開する。 $2$ を配ってから定数をまとめる：

   $2(5-4x)-7=10-8x-7=3-8x.$

   $-8x$ をそのまま保つこと。$2\times(-4x)=-8x$ であり、$-7$ は $10$ とだけまとまる。

2. 2

   右辺を展開する。 配る操作が 2 回要り、最初のものは負の数を掛ける：

   $-3(2x+1)=-6x-3,\qquad 2(3-x)=6-2x.$

   これらを足すと：

   $-6x-3+6-2x=3-8x.$

   符号の落とし穴は $-3\times1=-3$（$+3$ ではない）と $2\times(-x)=-2x$ である。

3. 3

   両辺を見比べる。 方程式は

   $3-8x=3-8x.$

   になった。すべての項が一致する。両辺から $3-8x$ を引くと $0=0$ が得られる。これは $x$ によらず真であり、解くべき文字がもう残っていない。

4. 4

   結果を解釈する。 1 次方程式の終わり方は 3 通りある。$x=a$ の形に帰着すれば解はちょうど 1 つ、$0=5$ のような偽の主張に帰着すれば解はない、$0=0$ のような真の主張に帰着すればすべての実数が解である。これは 3 つ目の場合なので、この方程式は恒等式であり、解集合は $\mathbb{R}$ である。

5. 5

   具体的な値で確かめる。 $x=0$ では左辺 $=3$、右辺 $=-3+6=3$ ✓。$x=1$ では左辺 $=2(1)-7=-5$、右辺 $=-9+4=-5$ ✓。$x=-3.5$ では左辺 $=2(19)-7=31$、右辺 $=18+13=31$ ✓。任意に取った 3 つの値がすべて成り立ち、恒等式が予言するとおりである。