不等式 (x − 4)/3 < (2x − 1)/2 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   やみくもにたすき掛けせず、最小公倍数 6 を掛ける。 両辺に分数が 1 つずつなのでたすき掛けをしたくなるが、それが安全なのは分母の符号が分かっているときだけである。ここでは分母がどちらも正の定数 $3$ と $2$ なので、両辺に $6$ を掛けるのは正当であり、$<$ の向きも保たれる。

2. 2

   分母を払う。

   $6\cdot\frac{x-4}{3}<6\cdot\frac{2x-1}{2}\ \Longrightarrow\ 2(x-4)<3(2x-1)$

   分子はかっこで括ったままにしなければならない：$2(x-4)$ の代わりに $2x-4$ とすると定数項が変わってしまう。

3. 3

   両辺を展開する。

   $2x-8<6x-3$

4. 4

   $x$ の係数が正のまま保たれる向きに項を集める。 両辺から $2x$ を引き、次に $3$ を足す：

   $-8<4x-3\ \Longrightarrow\ -5<4x$

   代わりに $6x$ を引いていたら $-4x<5$ となり、$-4$ で割って符号を反転させる必要があった——答えは同じだが、危険は増える。

5. 5

   4 で割り、答えを厳密に保つ。

   $-\frac{5}{4}<x\ \Longrightarrow\ x>-\frac54,\qquad\text{すなわち }\left(-\tfrac54,\infty\right)$

   $-\tfrac54$ のままにしておく。$-1.25$ と書いても数値としては正しいが、解集合に入れるべきは厳密な分数である。

6. 6

   端点を検証する。 $x=-\tfrac54$ では左辺 $=\dfrac{-\frac54-4}{3}=\dfrac{-\frac{21}{4}}{3}=-\dfrac74$、右辺 $=\dfrac{2(-\frac54)-1}{2}=\dfrac{-\frac72}{2}=-\dfrac74$ である。両辺が等しいので、$-\tfrac54$ はちょうど境界であり、正しく除外されている。