不等式 1 − (x + 6)/2 < (2x + 1)/3 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   分母の最小公倍数を求める。 分母は $2$ と $3$ なので、最小公倍数は $6$ である。$6>0$ なので両辺に掛けても不等号の向きは保たれる。この一手で、分数を 1 つずつ処理するのではなく、すべての分数を一度に消せる。

2. 2

   すべての項に 6 を掛けて係数を整理する。

   $6\cdot 1-6\cdot\frac{x+6}{2}<6\cdot\frac{2x+1}{3}\ \Longrightarrow\ 6-3(x+6)<2(2x+1)$

   ここで $6/2=3$、$6/3=2$ であり、単独の $1$ は $6$ になる。分母をもたない項にも、やはり掛け算が及ぶ。

3. 3

   両辺を展開する。 $-3$ は $(x+6)$ の両方の部分に掛かる：

   $6-3x-18<4x+2\ \Longrightarrow\ -3x-12<4x+2$

   ここで $6-3x+18$ と書いてしまうのが、定番の符号ミスである。

4. 4

   係数が正のままになるよう、$x$ の項を右辺へ移す。 両辺に $3x$ を足す：

   $-12<7x+2$

   次に $2$ を引く：

   $-14<7x$

5. 5

   7 で割って解集合を述べる。 $7>0$ なので不等号は反転しない：

   $-2<x\ \Longrightarrow\ x>-2,\qquad\text{すなわち }(-2,\infty)$

6. 6

   境界と内部の 1 点で確かめる。 $x=-2$ では、左辺 $=1-2=-1$、右辺 $=\tfrac{-3}{3}=-1$ で両辺が等しくなる。つまり端点は除かれ、狭義の不等式が求めるとおりである。$x=0$ では、左辺 $=1-3=-2$、右辺 $=\tfrac13$ であり、$-2<\tfrac13$ ✓。