不等式 (x + 1)(x + 3) ≥ (x - 2)(x - 4) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   どんな不等式かを決める前に展開する。 両辺が積の形なので符号表の要る 2 次不等式に見えるが、それは展開してみるまで分からない。因数どうしを直接比べたくなるが避けること——$(x+1)\ge(x-2)$ と $(x+3)\ge(x-4)$ を並べるのは、別の（しかも正しくない）議論である。

2. 2

   それぞれの辺を展開する。

   $(x+1)(x+3)=x^2+4x+3$

   $(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$

   なので、不等式は

   $x^2+4x+3\ge x^2-6x+8$

   となる。

3. 3

   両辺から $x^2$ を引く——これが要となる簡約である。 両辺の最高次の項がまったく同じなので打ち消し合い、不等式は 1 次 になる。

   $4x+3\ge -6x+8$

   符号表も、臨界点も、放物線も要らない。2 次であるかのように見えていたのは錯覚だったのである。

4. 4

   項を集めて $x$ を孤立させる。 $6x$ を足し、$3$ を引き、正の数 $10$ で割ると

   $10x+3\ge 8\ \Longrightarrow\ 10x\ge 5\ \Longrightarrow\ x\ge\frac12$

   となる。$10>0$ なので $\ge$ の向きは保たれ、元の不等式が等号を含むので端点も入る。

5. 5

   答えを述べ、境界を確かめる。 解集合は $\left[\tfrac12,\infty\right)$ である。$x=\tfrac12$ では左辺 $=\tfrac32\cdot\tfrac72=\tfrac{21}{4}$、右辺 $=\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac72\right)=\tfrac{21}{4}$ ——等しいので $\tfrac12$ は解集合に属する。$x=0$ では左辺 $=3$、右辺 $=8$ で $3\ge 8$ は偽であり、$\tfrac12$ より小さい値が成り立たないことが確かめられる。