不等式 (x − 3)/4 < 6 − (3 − 4x)/2 を解き、解集合を答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分数を 1 つずつではなく、最小公倍数を掛ける。 分母は $4$ と $2$ なので $\operatorname{lcm}(4,2)=4$ である。不等式に正の数 $4$ を掛けても $<$ の向きは変わらない——この最初の一手が安全なのは、ただそれだけの理由による。（負の数を掛けるなら、符号の反転が必要になる。）

2. 2

   右辺のすべての項に 4 を分配する。$6$ も忘れない。

   $4\cdot\frac{x-3}{4}<4\cdot 6-4\cdot\frac{3-4x}{2}\ \Longrightarrow\ x-3<24-2(3-4x)$

   ここで最も多い誤りは、分数だけに掛けて $6$ を放置してしまうことである。

3. 3

   かっこを展開する。その前のマイナス符号に注意する。 $-2$ は中の両方の項に掛かる：

   $-2(3-4x)=-6+8x$

   よって

   $x-3<24-6+8x\ \Longrightarrow\ x-3<18+8x$

   となる。$-2\cdot(-4x)=+8x$ に注意する：負が 2 つで正になり、だから $x$ の項が大きいほうの辺に落ち着く。

4. 4

   係数が正になる側に $x$ の項を集める。 両辺から $x$ を引くと：

   $-3<18+7x$

   この向きを選べば負の数で割ることが一度も起こらず、符号の反転も必要ない。

5. 5

   $x$ を孤立させる。 $18$ を引き、正の数 $7$ で割る：

   $-21<7x\ \Longrightarrow\ -3<x\ \Longrightarrow\ x>-3$

   区間の記法では、解集合は $(-3,\infty)$ である。

6. 6

   内側と外側の値を 1 つずつ試す。 $x=0$（内側）では左辺 $=-\tfrac34$、右辺 $=6-\tfrac32=4.5$ で $-0.75<4.5$ ✓。$x=-4$（外側）では左辺 $=-\tfrac74=-1.75$、右辺 $=6-\tfrac{19}{2}=-3.5$ で $-1.75<-3.5$ は偽 ✓。境界の $x=-3$ では両辺が等しくなり、除外されることが確かめられる。