x⁴ + x³ + x² + x = 4553 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   左辺を因数分解して形をつかむ。 まとめると、

   $x^4+x^3+x^2+x=x(x^3+x^2+x+1)=x(x+1)(x^2+1)$

   となる。$x^2+1>0$ が常に成り立つので、$g(x)=x(x+1)(x^2+1)$ の符号は $x(x+1)$ の符号と同じである：$(-1,0)$ の上でのみ負、その外では正。さらに $g$ は両方向で $x^4$ のように増大する。したがって $0$ より大きいどんな目標値に対しても実数解はちょうど2 つ、正が 1 つと負が 1 つである——忘れられるのは負のほうである。

2. 2

   正の解を挟み込む。 $g(7)=2401+343+49+7=2800$、$g(8)=4096+512+64+8=4680$ である。目標の $4553$ はこの間にあるので、解は $(7,8)$ にあり $8$ に近い。

3. 3

   正の解を精密化する。 $g(7.9)=4458.36$、$g(7.95)=4568.17$ なので解は $(7.9,7.95)$ にある。機械精度まで二分法で詰めると

   $x_1=7.9431476$

   が得られる。

4. 4

   よく引用される 7.949102 を退ける。 そこで評価すると $g(7.949102)=4566.18$ となり、$4553$ を $13$ 以上も超えてしまう。これほど外れた値が解であるはずはない。4 乗のせいで $x=8$ の近くでは $g$ の変化が非常に速い（1 あたりおよそ $2200$）ため、このずれは見落とされやすい。

5. 5

   負の解を挟み込んで精密化する。 $g(-8)=4096-512+64-8=3640$、$g(-8.5)=4669.69$ なので、2 つ目の解は $(-8.5,-8)$ にある。二分法により

   $x_2=-8.4477787$

   が得られる。

6. 6

   両方を検証する。 小数第 3 位まで $g(7.9431476)=4553.000$、$g(-8.4477787)=4553.000$ である。この 4 次方程式の残る 2 解は複素共役な組なので、実数解の集合はちょうど $\{7.9431476,\,-8.4477787\}$ である。