0.2 = 4.6092x³ + 9.2964x² + 2.7507x + 0.0251 を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   すべてを片側へ移す。 $0.2$ を引くと：

   $f(x)=4.6092x^{3}+9.2964x^{2}+2.7507x-0.1749=0$

   求めたいのは $f$ の零点である。係数は定数項を除いてすべて正なので、デカルトの符号法則により正の実数解はちょうど 1 個である。

2. 2

   符号が変わる区間で解を挟み込む。 慎重に値を計算する：

   $f(0)=-0.1749,\qquad f(0.05)=-0.0135,\qquad f(0.06)=+0.0246$

   符号は $0.05$ と $0.06$ の間で反転するので、解はそこにある。これらの試験値はどの桁も大切である——$f(0.06)$ を計算し損ねると、挟み込む区間が違ってしまい、自信たっぷりに誤った答えを出すことになる。

3. 3

   決め手になる試験点の計算を検算する。 $x=0.06$ のとき $4.6092(0.000216)=0.000996$、$9.2964(0.0036)=0.033467$、$2.7507(0.06)=0.165042$ である。足して引くと $0.199505-0.1749=+0.024605$。正なので、区間 $[0.05,0.06]$ が正しいと確かめられる。

4. 4

   ニュートン法で精密化する。 $f'(x)=13.8276x^{2}+18.5928x+2.7507$ とし $x_{0}=0.055$ から始めると、反復は順に $0.0536168$、$0.0536118$、$0.0536118$ となり、小数第 7 位まで収束する：

   $x\approx 0.0536118$

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   解を検証し、残りの解も押さえる。 $f(0.0536118)=0.0000002$ ✓。この三次式の他の 2 解 $x\approx-0.43195$ と $x\approx-1.63858$ は負であり、変数が物理量を表す場合はふつう捨てられる。したがって答えは $x\approx 0.0536$ である。